L3 Mathématiques

Semestre :5
Unité d’enseignement : Fondamentale
Matière : Espaces Vectoriels normés
Crédits :5
Coefficient : 3
Objectifs de l’enseignement :
Apprendre aux étudiants l’importance de l’espace de Banach et la particularité de l’espace Hilbert comme
étant une classe des espaces normés. Faire apparaitre des résultats propres à cet espace.
Connaissances préalables recommandées : Analyse1, analyse2, analyse3, topologie
Contenu de la matière :
Chapitre 1 : Espace de Banach
• Normes, normes équivalentes, espace de Banach
• Propriétés de la norme, ….
• Exemples d’espaces de Banach
• Espaces vectoriels normés de dimension finie
• Applications linéaires continues : Définitions, norme d’une application linéaire continue
• Dual d’un espace vectoriel normé
Chapitre 2 : Espace de Hilbert
• Produit scalaire, espace préhilbertien, espace de Hilbert
• Propriétés du produit scalaire, inégalité de Cauchy-Schwarz, égalité du parallélogramme, ….
• Orthogonalité, théorème de la projection, théorème de Riesz
• Système orthogonal (inégalité de Bessel-Parseval), base
• Systèmes orthonormés
• Séries de Fourier
• Systèmes orthonormés complets dans des espaces concrets

Mode d’évaluation : Examen (60%) , contrôle continu (40%)
Références:
• Brezis H. Analyse Fonctionnelle, Théorie et Applications
• Lacombe G., Massat P. Analyse Fonctionnelle. Exercices corrigés, DUNOT
• Sonntag Y. Topologie et Analyse Fonctionnelle, Cours et exercices, Ellipses, 1997 , Gauthier&Villars